Быть свободным – это ничто, стать свободным – это все! Карл Людвиг Бёрне
Кажуть розумні люди...– Кохана, я хочу трохи пожити для себе. |
| Задача про 12 шаров с одним аномальным и 3 взвешивания |
| 03.03.2009 р. | |
|
Говорят, что решивших задачу быстрее 2-х часов берут на лондонскую биржу. |
| « Попередня | Наступна цікавинка » |
|---|
Есть 12 внешне одинаковых шариков, но один из них — "аномальный", он отличается от остальных по весу, но легче или тяжелее — неизвестно.
Коментарі
Нумеруем шары. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
______________________________ ___________
Делим на 3 кучки по 4 шара.
______________________________ ___________
Шаг 1. Взвешиваем 1 2 3 4 и 5 6 7 8:
а) Если они равны, то аномальный среди 9 10 11 12. Шаг 2. Взвешиваем 9 и 10:
- Если они равны, то аномальный среди 11 и 12. Шаг 3. Взвешиваем 9 и 11: Если равны, то аномальный шар 12 и конец, если нет, то аномальный 11 и конец.
- Если 9 и 10 не равны, то Шаг 3. Взвешиваем 9 и 11. Если равны то аномальный шар 10 и конец , если нет, то аномальный 9 и конец.
б) Осталось 8 вариантов. Аномальный среди 1 2 3 4 5 6 7 8. Запоминаем состояние весов (первая группа тяжелее І или вторая ІІ) и идем к шагу 2.
______________________________ _________
Шаг 2. Взвешиваем шары 1 10 11 12 и 5 2 3 4. Запоминаем состояние весов (тяжелее первая группа A или вторая группа B):
а) Если А и В равны, то аномальный среди 6 7 8:
- Шаг 3. взвешиваем 6 и 7, если равны, то аномальный шар 8 и конец. Если не равны: если группа І тяжелее, то аномальный, тот, что легче (6 или 7 ) и конец; если группа ІІ тяжелее, то аномальный тот что тяжелее (6 или 7) и конец.
б) Осталось 5 вариантов. Аномальный среди 1 5 2 3 4:
- Если группа А тяжелее группы В и если группа І тяжелее группы ІІ, то аномальный 1 и конец или если группа ІІ тяжелее группы І и группа В тяжелее группы А, то аномальный 1 или 5. Шаг 3.
Взвешиваем 1 и 11. Если 1 равен 11, то аномальный 5 и конец , если нет, то аномальный 1 и конец.
- если другой вариант, то Осталось 3 варианта 2 3 4 и Шаг 3. ______________________________ ___________
- Шаг 3. Взвешиваем 2 и 3. Если равны, то аномальный шар 4 и конец. Если нет, то аномальный среди 2 и 3:
- Если группа А тяжелее группы В и группа ІІ тяжелее группы І, то аномальный шар тот, что тяжелее (2 или 3) и конец;
- Если группа В тяжелее группы А и группа ІІ тяжелее группы І то, тот что тяжелее (2 или 3) и конец;
______________________________ ___________
Это один из способов.
Ошибка в Шаг1а: неизвестно тяжелее или легче тот аномальный шар.
Первое взвешивание:
Положим на левую чашку шары:
3, 7, 8, 11,
на правую:
5, 6, 9, 12.
Второе взвешивание:
Положим на левую чашку шары:
2, 7, 9, 12,
на правую:
4, 6, 8, 10.
Третье взвешивание:
Положим на левую чашку шары:
1, 8, 9, 10,
на правую:
4, 5, 7, 11.
-
Теперь смотрим на результаты взвешивания.
Будем обозначать их знаками
- левая чашка легче;
+ левая чашка тяжелее;
= весы в равновесии.
Если весы были в равновесии ровно 2 раза из трёх, то дефектный шар имеет номер 1, 2 или 3.
==- или ==+ шар №1;
=-= или =+= шар №2;
-== или +== шар №3.
Если весы были в равновесии 1 раз из трёх, а остальные 2 раза тяжелее была одна и та же чашка, то дефектный шар имеет номер 4, 5 или 6.
=++ или =– шар №4;
+=+ или -=- шар №5;
++= или –= шар №6.
Если весы ни разу не были в равновесии, то дефектныйй шар имеет номер 7, 8 или 9.
–+ или ++-шар №7;
-+- или +-+шар №8;
+– или -++шар №9.
Если весы были в равновесии 1 раз из трёх, а остальные 2 раза тяжелее были разные чашки, то дефектный шар имеет номер 10, 11 или 12.
=+- или =-+ шар №10;
-=+ или +=- шар №11;
+-= или -+= шар №12.
В каждом из перечисленных случаев перед словом «или» указано положение весов для случая, когда дефектный шар легче настоящего, а после —для случая, когда тяжелее.
1 При 3 взвешиваниях можно получить 100%
результат (указать шар и направление отклонения его веса) лишь в 25%
2 При 3 взвешиваниях можно получить в 50%
не полный результат (только указать шар без информации о направлении отклонения его веса)
3 Для 100% решения нужно 4 измерения
Есть еще два (2) варианта решения данной задачи (методом ВЗВЕШИВАНИЯ) за один (1) раз!!!
Каждое взвешивание дает дополнительную информацию: потенциально легкий, тяжелый или нормальный шар. Чтобы выбрать аномальный шар, например, из двух потенциально тяжелых и одного потенциально легкого, достаточно одного взвешивания.
Задача однозначно решаемая, более того, после трех взвешиваний определяется не только аномальный шар, но и то, легче он или тяжелей, чем остальные шары.
Итак, пронумеруем шары от 1 до 12.
1-е взвешивание:
слева - шары 1,2,3,4, справа - 5,6,7,8
Возможные результаты:
а. 1+2+3+4 = 5+6+7+8 => аномальный шар - среди 9-12
б. 1+2+3+4 > 5+6+7+8 => аномальный шар - среди 1-8 (или среди 1-4 и при этом он тяжелее, или среди 5-8 и при этом он легче)
в. 1+2+3+4 аномальный шар - среди 1-8 (или среди 1-4 и при этом он легче, или среди 5-8 и при этом он тяжелее)
----------------
В случае а (1+2+3+4 = 5+6+7+8), 2-е взвешивание:
слева - шары 1,9, справа - шары 10,11
Возможные результаты:
аа. 1+9 = 10+11 => аномальный шар - 12
аб. 1+9 > 10+11 => аномальный шар - среди 9-11 (или 9 - тяжелей, или 10,11 - легче)
ав. 1+9 аномальный шар - среди 9-11 (или 9 - легче, или 10,11 - тяжелей)
----------------
В случае аа, 3-е взвешивание:
слева - шар 1, справа - шар 12
Возможные результаты после:
ааа. 1 > 12 => аномальный шар - 12-й, причем он легче
ааб. 1 аномальный шар - 12-й, причем он тяжелее
В случае аб, 3-е взвешивание:
слева - шар 10, справа - шар 11
Возможные результаты:
аба. 10 = 11 => аномальный шар - 9-й, причем он тяжелее
абб. 10 > 11 => аномальный шар - 11-й, причем он легче
абв. 10 аномальный шар - 10-й, причем он легче
В случае ав, 3-е взвешивание:
слева - шар 10, справа - шар 11
Возможные результаты:
ава. 10 = 11 => аномальный шар - 9-й, причем он легче
авб. 10 > 11 => аномальный шар - 11-й, причем он тяжелее
авв. 10 аномальный шар - 10-й, причем он тяжелее
----------------
В случае б. (1+2+3+4 > 5+6+7+8), 2-е взвешивание:
слева - шары 1,9,10,11 справа - 2,3,4,6
Возможные результаты:
ба. 1+9+10+11 = 2+3+4+8 => аномальный шар - среди 5-7 (причем он легче)
бб. 1+9+10+11 > 2+3+4+8 => аномальный шар - 1 или 8 (или 1 тяжелее, или 8 - легче)
бв. 1+9+10+11 аномальный шар - среди 2-4 (причем он тяжелее)
----------------
В случае ба, 3-е взвешивание:
слева - шар 5, справа - 6
Возможные результаты:
баа. 5 = 6 => аномальный шар - 7, причем он легче
баб. 5 > 6 => аномальный шар - 6, причем он легче
бав. 5 аномальный шар - 5, причем он легче
В случае бб, 3-е взвешивание:
слева - шар 1, справа - 2
Возможные результаты:
бба. 1 = 2 => аномальный шар - 8, причем он легче
ббб. 1 > 2 => аномальный шар - 1, причем он тяжелее
В случае бв, 3-е взвешивание:
слева - шар 2, справа - 3
Возможные результаты:
баа. 2 = 3 => аномальный шар - 4, причем он тяжелее
баб. 2 > 3 => аномальный шар - 3, причем он тяжелее
бав. 2 аномальный шар - 2, причем он тяжелее
----------------
В случае в (1+2+3+4 аномальный шар - среди 5-7 (причем он тяжелее)
вб. 1+9+10+11 > 2+3+4+8 => аномальный шар - 1 или 8 (или 1 легче, или 8 - тяжелее)
вв. 1+9+10+11 аномальный шар - среди 2-4 (причем он легче)
----------------
В случае ва, 3-е взвешивание:
слева - шар 5, справа - 6
Возможные результаты:
ваа. 5 = 6 => аномальный шар - 7, причем он тяжелее
ваб. 5 > 6 => аномальный шар - 5, причем он тяжелее
вав. 5 аномальный шар - 6, причем он тяжелее
В случае вб, 3-е взвешивание:
слева - шар 1, справа - 2
Возможные результаты:
вба. 1 = 2 => аномальный шар - 8, причем он тяжелее
вбб. 1 > 2 => аномальный шар - 1, причем он легче
В случае вв, 3-е взвешивание:
слева - шар 2, справа - 3
Возможные результаты:
ваа. 2 = 3 => аномальный шар - 4, причем он легче
ваб. 2 > 3 => аномальный шар - 2, причем он легче
вав. 2 аномальный шар - 3, причем он легче
Извините за долгое описание, но перебор вариантов того требует.
В выложенном описании допущены ошибки.
Во всех вариантах, в случае третьего варианта (в) пропущена правая часть сравнения. Например:
в. 1+2+3+4 аномальный шар - среди 1-8 (или среди 1-4 и при этом он легче, или среди 5-8 и при этом он тяжелее)
тогда как должно быть:
в. 1+2+3+4 аномальный шар - среди 1-8 (или среди 1-4 и при этом он легче, или среди 5-8 и при этом он тяжелее).
Причина, по видимому в том, что часть выражения (а именно: ) воспринимается как открывающая и закрывающая угловые скобки.